Distribusi Sampling

KANGGO BOCAH2 SING RIBET SAMA SAMPLING......

Distribusi Sampling

1.         Pendahuluan

·      Bidang Inferensia Statistik membahas generalisasi/penarikan kesimpulan dan prediksi/ peramalan. Generalisasi dan prediksi tersebut melibatkan sampel/contoh, sangat jarang menyangkut populasi.

·      Sensus = pendataan setiap  anggota populasi

·      Sampling = pendataan sebagian anggota populasi = penarikan contoh = pengambilan sampel

·      Pekerjaan yang melibatkan populasi tidak digunakan, karena:     

            1.         mahal dari segi biaya dan waktu yang panjang

            2.         populasi akan menjadi rusak atau habis jika disensus

misal :  dari populasi donat ingin diketahui rasanya, jika semua

donat dimakan, dan donat tidak tersisa, tidak ada yang dijual?

·      Sampel yang baik     ®      Sampel yang representatif      

·           Beda antara Statistik Sampel Vs Parameter Populasi? perhatikan tabel berikut:   

Ukuran/Ciri	Parameter Populasi	Statistik Sampel
Rata-Rata	m : myu
Selisih 2 Rata-rata	: nilai mutlak	: nilai mutlak
Standar Deviasi = Simpangan Baku	s : sigma	S
Varians = Ragam	s²	s²
Proporsi	p : phi atau p
Selisih 2 proporsi	: nilai mutlak	: nilai mutlak

 Sampel yang baik diperoleh dengan memperhatikan hal-hal berikut :

            1.  keacakannya (randomness)

            2.  ukuran

3.  teknik penarikan sampel (sampling)  yang sesuai dengan  kondisi atau sifat  populasi

Sampel Acak  = Contoh Random ® dipilih dari populasi di mana setiap anggota populasi memiliki peluang yang sama terpilih menjadi anggota ruang sampel.

·      Beberapa Teknik Penarikan Sampel :

a.         Penarikan Sampel Acak Sederhana (Simple Randomized Sampling)

Pengacakan dapat dilakukan dengan : undian, tabel bilangan acak, program komputer.

b.         Penarikan Sampel Sistematik (Systematic Sampling)

Tetapkan interval lalu  pilih secara acak anggota pertama sampel

Contoh :          Ditetapkan interval = 20

Secara acak terpilih  :  Anggota populasi ke-7 sebagai anggota  ke-1 dalam sampel  maka :    

Anggota populasi ke-27 menjadi anggota ke-2 dalam sampel

Anggota populasi ke-47 menjadi anggota ke-3 dalam sampel, dst.

c.         Penarikan Sampel Acak Berlapis (Stratified Random Sampling)

Populasi terdiri dari beberapa kelas/kelompok. Dari setiap kelas diambil sampel secara acak.

Perhatikan !!!!

Antar Kelas bersifat (cenderung) berbeda nyata (heterogen). Anggota dalam suatu kelas akan (cenderung) sama (homogen).

Contoh :

Dari 1500 penumpang KA (setiap kelas memiliki ukuran yang sama) akan diambil 150 orang sebagai sampel, dilakukan pendataan tentang tingkat kepuasan, maka  sampel acak dapat diambil dari :

            Kelas Eksekutif           : 50  orang

            Kelas Bisnis                : 50  orang

            Kelas Ekonomi            : 50  orang   

           

d.         Penarikan Sampel Gerombol/Kelompok (Cluster Sampling)

            Populasi juga terdiri dari beberapa kelas/kelompok

Sampel yang diambil berupa kelompok bukan individu anggota

Perhatikan !!!!

Antar Kelas bersifat (cenderung) sama (homogen). Anggota dalam suatu kelas akan (cenderung) berbeda (heterogen).

Contoh :         

Terdapat 40 kelas untuk tingkat II Jurusan Ekonomi-GD, setiap kelas terdiri dari 100 orang.  Populasi  mahasiswa kelas 2, Ekonomi-UGD = 40 ´ 100 = 4000. 

Jika suatu penelitian dilakukan pada populasi tersebut dan sampel yang diperlukan = 600 orang, dilakukan pendataan mengenai lama waktu belajar per hari maka sampel dapat diambil dari 6 kelas.... Dari 40 kelas, ambil secara acak 6 kelas.

e.         Penarikan Sampel Area (Area Sampling)

Prinsipnya sama dengan Cluster Sampling.

Pengelompokan ditentukan oleh letak geografis atau administratif.

Contoh :          Pengambilan sampel di daerah JAWA BARAT, dapat dilakukan                             dengan memilih secara acak KOTAMADYA tempat pengambilan                           sampel, misalnya terpilih, Kodya Bogor, Sukabumi dan Bandung,

Sampel acak menjadi dasar penarikan sampel lain.  Selanjutnya, pembahasan akan menyangkut Penarikan Sampel Acak.

·      Penarikan Sampel Acak dapat dilakukan dengan 2 cara, yaitu :

a.         Penarikan sampel tanpa pemulihan/tanpa pengembalian  :  setelah didata, anggota sampel tidak dikembalikan ke dalam ruang sampel

b.         Penarikan sampel dengan pemulihan : bila setelah didata, anggota sampel   dikembalikan ke dalam ruang sampel.

·      Berdasarkan Ukurannya, maka sampel dibedakan menjadi  :

a.         Sampel Besar  jika ukuran sampel (n) ³ 30

b.         Sampel Kecil  jika ukuran sampel (n) < 30

Distribusi  Penarikan Sampel = Distribusi Sampling

·      Jumlah Sampel Acak yang dapat ditarik dari suatu populasi adalah sangat banyak. 

·      Nilai setiap Statistik Sampel akan bervariasi/beragam antar sampel. 

·      Suatu statistik dapat dianggap sebagai peubah acak yang besarnya sangat tergantung dari sampel  yang kita ambil.

·      Karena statistik sampel adalah peubah acak maka ia mempunyai distribusi yang kita sebut sebagai : Distribusi peluang statistik sampel = Distribusi Sampling = Distribusi Penarikan Sampel

2.         Distribusi Sampling Rata-Rata

Beberapa notasi :

n          : ukuran sampel                                               N         :  ukuran populasi

        : rata-rata sampel                                             m          :  rata-rata populasi

s          : standar deviasi sampel                                  s          :standar deviasi populasi

      : rata-rata antar semua sampel                              : standar deviasi sampel

2.1       Distribusi Sampling Rata-rata Sampel Besar 

Dalil 1

JIKA

Sampel:                       ü

berukuran = n ³ 30      ý diambil  DENGAN PEMULIHAN dari

rata-rata =                þ

                                                                        ì Populasi berukuran = N

                                                                        í  Terdistribusi NORMAL

                                                                        î  Rata-rata = m ;  simpangan baku = s

MAKA

Distribusi Rata-rata akan mendekati distribusi Normal dengan :

            = m               dan           dan nilai

Dalil 2

JIKA

Sampel:                       ü

berukuran = n  ³ 30     ý diambil  TANPA PEMULIHAN  dari

rata-rata =                þ

                                                                        ì Populasi berukuran = N

                                                                        í  Terdistribusi NORMAL

                                                                        î  Rata-rata = m ;  simpangan baku = s

MAKA

Distribusi Rata-rata akan mendekati distribusi Normal dengan :

= m              dan         dan nilai

·       disebut sebagai FAKTOR KOREKSI populasi terhingga.

·      Faktor Koreksi (FK) akan menjadi penting jika sampel berukuran n diambil dari populasi berukuran N yang terhingga/ terbatas besarnya

·      Jika sampel berukuran n diambil dari populasi berukuran N yang sangat besar maka FK akan mendekati 1 ® , hal ini mengantar kita pada dalil ke-3 yaitu

DALIL LIMIT PUSAT = DALIL BATAS TENGAH = THE CENTRAL LIMIT THEOREM

Dalil 3 DALIL LIMIT PUSAT

JIKA

Sampel:                       ü

berukuran = n              ý diambil dari

rata-rata =                þ

                                                                        ì Populasi berukuran = N yang BESAR

                                                                        í  distribusi : SEMBARANG

                                                                        î  Rata-rata = m ;  simpangan baku = s

MAKA

Distribusi Rata-rata akan mendekati distribusi Normal dengan :

            = m               dan           dan nilai

·      Dalil Limit Pusat berlaku untuk :   - penarikan sampel dari populasi yang sangat besar,

- distribusi populasi tidak dipersoalkan

·      Beberapa buku mencatat hal berikut : Populasi dianggap BESAR jika ukuran sampel

     KURANG DARI  5 % ukuran populasi atau

Dalam pengerjaan soal DISTRIBUSI SAMPLING RATA-RATA perhatikan asumsi-asumsi dalam soal sehingga anda dapat dengan mudah dan  tepat menggunakan dalil-dalil tersebut!

Contoh 1:

PT  AKUA sebuah perusahaan air mineral rata-rata setiap hari memproduksi 100 juta gelas air mineral.  Perusahaan ini menyatakan bahwa rata-rata isi segelas AKUA adalah 250 ml dengan standar deviasi = 15 ml.  Rata-rata populasi dianggap menyebar normal. 

1.         Jika setiap hari diambil 100 gelas AKUA sebagai sampel acak DENGAN

            PEMULIHAN, hitunglah :    

a. standard error atau galat baku sampel tersebut?

b. peluang rata-rata sampel akan berisi kurang dari 253 ml?

2.         Jika sampel diperkecil menjadi 25 gelas, hitunglah :

                        a. standard error atau galat baku sampel tersebut?

b. peluang rata-rata sampel akan berisi lebih dari 255 ml?

1. Diselesaikan dengan DALIL 1 ® karena PEMULIHAN

    Diselesaikan dengan DALIL 3 ® karena POPULASI SANGAT BESAR

N = 100 000 000         = m = 250             s = 15             n = 100                       

P( < 253) = P(z < ?)

GALAT BAKU =          

Jadi P( < 253) = P(z < 2.0) = 0.5 + 0.4772 = 0.9772

2. Diselesaikan dengan DALIL 3 ® karena POPULASI SANGAT BESAR

N = 100 000 000         = m = 250             s = 15             n = 25             

P( > 255) = P(z > ?)

GALAT BAKU =            

Jadi P( > 255 ) = P(z > 1.67) = 0.5 - 0.4525 = 0.0475

Contoh 2 :

Dari 500 mahasiswa FE-GD diketahui rata-rata tinggi badan = 165 cm dengan standar deviasi = 12 cm, diambil 36 orang sebagai sampel acak.  Jika penarikan sampel dilakukan TANPA PEMULIHAN dan rata-rata tinggi mahasiswa diasumsikan menyebar normal, hitunglah :

a. galat baku sampel?

b. peluang sampel akan memiliki rata-rata tinggi badan kurang dari 160 cm?   

Diselesaikan dengan DALIL 2 ® TANPA PEMULIHAN

N = 500           = m = 165             s = 12             n = 36             

Catatan  ® Dalil Limit Pusat tidak dapat digunakan

P(< 160) = P(z < ?)

FK =

GALAT BAKU  x FK  = = 2 x  0.964... = 1.928...

P(< 160) = P(z < -2.59) = 0.5 - 0.4952 = 0.0048

2.2       Distribusi Sampling Rata-rata Sampel Kecil

DISTRIBUSI t

·      Distribusi Sampling didekati dengan distribusi t Student = distribusi t (W.S. Gosset).

·      Lihat Buku Statistika-2, hal 177

    

Distribusi-t pada prinsipnya adalah pendekatan distribusi sampel kecil dengan distribusi normal.

Dua hal yang perlu diperhatikan dalam Tabel t adalah           1. derajat bebas (db)

                                                                                                2.  nilai a

Derajat bebas (db)  = degree of freedom = v = n - 1.

            n : ukuran sampel.      

·      Nilai a adalah         luas daerah kurva di kanan nilai  t                  atau

                                    luas daerah kurva di kiri    nilai -t

·      Nilai a   ®  0.1 (10%) ; 0.05 (5%) ; 0.025(2.5%) ; 0.01 (1%) ; 0.005(0.5%)

     Nilai a terbatas karena banyak kombinasi db yang harus disusun!

·      Kelak Distribusi t akan kita gunakan dalam PENGUJIAN HIPOTESIS

·      Pembacaan Tabel Distribusi-t

Misalkan          n = 9 ® db = 8;          Nilai a ditentukan = 2.5% di kiri dan kanan kurva

                        t tabel (db, a) = t tabel(8; 0.025)  = 2.306

                        Jadi t = 2.306 dan -t = -2.306

 

                                                           

                          2.5%                       95 %                             2.5%

 

                                   

                            -2.306                     0                       2.306

Arti Gambar di atas nilai t sampel berukuran n = 9, berpeluang 95% jatuh dalam selang 

-2.306 < t < 2.306.

Peluang t >2.306 =  2.5 %  dan Peluang t < -2.306 = 2.5 %

Coba cari nilai t tabel untuk beberapa nilai db dan a yang lain!

·      Perbedaan Tabel z dan Tabel t

     Tabel z ® nilai z menentukan nilai a

     Tabel t ® nilai a dan db menentukan nilai t

·      Dalam  banyak kasus nilai simpangan baku populasi (s) tidak diketahui, karenanya nilai s diduga dari nilai simpangan baku sampel (s)

Dalil 4

JIKA

Sampel:                                   ü

ukuran KECIL n < 30                         ý diambil dari

rata-rata =    simp. baku = s þ

                                                                                    ì Populasi berukuran = N

                                                                                    í  terdistribusi : NORMAL

                                                                                    î  Rata-rata = m

MAKA

Distribusi Rata-rata akan mendekati distribusi-t  dengan :

            = m              dan         dan nilai

pada derajat bebas = n-1 dan suatu nilai a

Contoh 3 :

Manajemen PT JURAM menyatakan bahwa 95% rokok produksinya rata-rata mengandung nikotin 1.80 mg, data tersebar normal.  Yayasan Konsumen melakukan pengujian nikotin terhadap 9 batang rokok dan diketahui rata-rata sampel = 1.95 mg nikotin dengan standar deviasi = 0.24 mg. Apakah hasil penelitian Yayasan Konsumen mendukung pernyataan Manajemen PT JURAM?

Jawab :                        95 % berada dalam selang ® berarti 5 % berada di luar selang;

                                    2.5 % di kiri t dan 2.5% di kanan t

                                    a = 2.5 % = 0.025

n = 9 ® db = n - 1 = 8

t tabel (db, a) = t-tabel(8; 0.025)  = 2.306

Jadi 95 % berada dalam selang  -2.306 < t < 2.306

Nilai t-hitung = ?         m = 1.80                       n = 9                = 1.95          s = 0.24

 =

Nilai t hitung = 1.875 berada dalam selang  -2.306 < t < 2.306

jadi hasil penelitian Yayasan Konsumen masih sesuai dengan pernyataan manajemen PT JURAM.

2.3       Distribusi Sampling Bagi Beda 2 Rata-rata

Dalil 5

JIKA

Dua (2) Sampel           ü

berukuran  dan    ý diambil dari

rata-rata = dan    þ                                  ì Dua (2) Populasi berukuran BESAR

                                                                        í Rata-rata  dan  

                                                                        î Ragam  dan             

MAKA

Distribusi Rata-rata akan mendekati distribusi Normal dengan :

           dan   standard error =           dan

nilai z                

·      Beda atau selisih 2 rata-rata =  ® ambil nilai mutlaknya!

·      Melibatkan 2 populasi yang BERBEDA dan SALING BEBAS

·      Sampel-sampel  yang diambil dalam banyak kasus (atau jika dilihat secara akumulatif) adalah sampel BESAR

Contoh 4:

Diketahui rata-rata IQ mahasiswa Eropa = 125 dengan ragam = 119 sedangkan rata-rata IQ mahasiswa Asia = 128 dengan ragam 181. diasumsikan kedua populasi berukuran besar

Jika diambil 100 mahasiswa Eropa dan 100 mahasiswa Asia sebagai sampel, berapa peluang terdapat perbedaan IQ kedua kelompok akan kurang dari 2?

Jawab :

Populasi

Parameter	populasi ke-1 (Mhs. Eropa)	populasi ke-2 (Mhs. Asia)
Rata-rata (m)	125	128
Ragam (s²)	119	181

Beda 2 Rata-rata = =

Sampel : = 100    = 100

P( <2  ) = P ( z < ?)

P(z<-0.58) = 0.5 - 0.2190 = 0.2810

ššš selesai ›››